プロジェクト設定が映像とあっていないのでは？
Premiere Elementsを開いたら、ファイル＞新規プロジェクトの画面でプリセットから映像の設定にあったプロジェクトを選んで作ってますか？
あと、キャプチャー中に画面で見えないのは仕様かと思います。ビデオ側の再生画面で確認するしかなかったと思います。
HDV撮影していてもDVDにすると画質が悪くなるのは当然なので（あとPremiere Elementsは画質はあまりよくないので）、
プロジェクトの設定に問題がないのに画質が悪いということだと解決できない可能性がありますね。
2つ目の質問に関しては、ディスクによるかと思います。
Adobe Premiere Elements ヘルプ | DVD または Blu-ray ディスクへの書き出し
＞Premiere Elements では、DVD+R、DVD+RW、DVD‑R および DVD‑RW の単層 4.7 GB ディスクをサポートしています。また、二層 8.5 GB DVD+R ディスクもサポートしています。
お持ちの二層のDVDというのは、DVD+Rのディスクでしょうか？